Exercices :Les limites et la Continuité

Je vs propose lé lim suivante
1) lim(x-->+00)x(Arctan{x/(x+1) -pi/4}
2)lim(x-->0+){(3°V(1+3°Vx^2)-4°V(1-3°Vx^2)}/Vx
3) lim(x-->+00)(5°V(x^2+1)-(3°V(x^2+x+1)

NB (3°Vx) veu dire racine cubik de x

soit f une fonction continue su IR+ et f(0)=1 et lim (x--> + l infini ) = 0
1 - montrez qu il existe un c de ]0, + linfini [ ; f(c) = c
2 - montrez pour tt b appartient ]0,1[ il existe un a>0 ; f(a) = b

soit a un réel strictement positif
on considère la fonction f_a définie par
f(x)=a-1 - (a^3 - x^3)^1/3
f(x)= 2 arctan( (x-a)/(x+a))
1- definir D_a /calculer les limites sur les bornes
2- etudier la continuité de f_a sur D_a
3- etudier la dérivabilité de f_1 sur 1
4 tableau de variation de f_a
5- a- definir le pt d'inflexion
-b- etudier les branches infinies

On considére que f est une fonction au [a;b] ( a et b sont deux nombres réels a <b )
* f([a;b]) dans [a;b]
* qlq x,y E [a,b] / x # y |f(x) - f(y) | < | x-y |

1* démonter que f est une fonction continue sur R
2* on considére une fonction g :
qlq xE[a,b] g(x) = f(x)-x

1~ démonter que g est une fonction croissante sur [a,b ]
2~ précisez le signe de: g(a)g(b)
déduisez que : existe unique c £ [a,b] telle que f(c)=c

Calculer la limite suivante :
Lim{(x+1) - (x^3 + 1)^(1/3)} lorsque x------->+oo

f est la fonction définie sur IR par f(x) = x^3 –30x² + 112.
1. Etudier la limite de f en +∞ et en – ∞.
2. Calculer f'’(x) ; étudier son signe puis dresser le tableau des variations de f.
3. Démontrer que l’équation f(x) = 0 a trois solutions.
Avec la calculatrice, donner l’'arrondi au dixième ou la valeur exacte de chaque
solution.
4. En déduire le signe de f.
5. Calculer la dérivée g’ de la fonction définie sur IR par
g(x) = 1/4x^4 -10 x3 + 112x – 148
Que peut-on en déduire pour g ?
6. Etablir le tableau des variations de g sur IR.

Je vous propose une série d'exercices en cliquant sur ce LIEN

calculez cette limite :

Calculez cette limite:

soit a;b £ R² tel que 0<=a<b

Calculez :
Lim(0) (Arctanx-x)/x²

montrer que:

(qlqx>0) 0<(x-Arctanx)/x^2<x/3

f est une fonction definie par suivants:f(x) =2x² - x +1
1) montrer que 9osour g de fonction f sur [1/4. +00[ est un bijective de[1/4. +00[ à J il fai le determiner
° determine g-1(x)
2) soit f est une fonction definie par suivant:
f (x)=x+1/2x-3 . soit Df sa domaine de definition
montrer que f est bijective de Df à une partie de R il fau la determiner

° determiner f-1(x)
3==) soit f une fonction definie sur ]a;b[ :
f(x)=1/a-x +1/b-x
montre que f est un bijective de ]a.b[ à R
° determiner f-1(x)

soit f une fonction croissante sur I=[0.1[
et quelque soit (a.b.c) de I 0<=a<b<c<1 on ait
[f(b)-f(a)]/(b-a) < [f(c)-f(b)]/(c-b)
PROUVEZ QUE f EST CONTINUE SUR [0.1[

etudier la continuité de la fonction definie de R/-1 vers R tel que
pour tout n de N* f(x) =lim(x-->infini)(x^n +1 / x^2n +1 )

soit f une fonction defini de J=[a;b] dans J
on suppose f est strictement croissante sur J
prouvez qu il existe un réel c de J tel que f(c)=c

soit f et g deux fonctions continues sur [a,b]
supposons que pour tout x de [a,b] on a f(x) sup g(x).
demontrer qu il existe un a strictement positifs tel que f(x) sup= g(x)+a